sopra ogni obbiezione. Certe sono del pari le operazioni algebriche che si eseguiscono sopra quantità che sono per loro natura impossibili, come sarebbe un seno maggiore del raggio, là radice d'un numero negativo e simili (a).

Per la stessa ragione allorchè si considera la funzione f (x + h) svolta secondo le potenze positive ed intere di h, e si trovano fra i coeffi cienti di queste potenze le note relazioni, dalle quali nasce il teorema di Taylor e l'intera teoria delle funzioni derivate, non è assolutamente necessario l'esaminare in prima se i suddetti coefficienti possano sempre esprimersi per mezzo delle quantità algebraiche, trascendenti od immaginarie già conosciute, oppure costituiscano un nuovo genere di immaginari o di trascendenti. Tutte le verità che discendono dall' assunta eguaglianza fra la funzione e il suo svolgimento, rimangono in tutti i casi inconcusse, e si difendono da ogni assalto sotto l' usbergo della primitiva definizione.

-sod

Non siamo lontani dal concedere che la sibilità di risolvere f (x + h) quando x ha un valore indeterminato in una serie di potenze di h, senza cessar d'esser vera, non sia stata ancora sufficientemente dimostrata; ma questa possibilità non è che una proprietà di più di quei coefficienti che si è fino ad ora verificata in tutte le funzioni, e che del resto è affatto

(a) È da notarsi che il sig. Wronski fa nelle sue opere un uso continuo delle quantità immaginarie espresse da I e ne deduce bellissime conclusioni.

indipendente dalle altre proprietà che sono indubitatamente provate.

È noto che quando si danno alla variabile x dei valori determinati, può avvenire che lo svolgimento di cui si tratta riesca impossibile, ed allora i coefficienti differenziali della funzione vengono espressi o dall' infinito, o dalla frazione Eppure queste frasi misteriose, colle quali l'analisi risponde alle nostre interrogazioni, sono un particolar pregio dell' analisi istessa e non già un difetto, e divengono un indizio per riconoscere gli accidenti della funzione che si considera e l'andamento della curva da essa rappresentata.

Così per un esempio l'equazione.

+23+ec., oppure che e* ✔―i è eguale a 2 cos. x.

+

te

Supponiamo ora che ci venisse indicata una funzione, F(x + h), la quale non solo per certi valori determinati di x, ma per un valore qualunque non si potesse svolgere in una serie della forma F ( x ) + Ah + Bh2 + ec., noi ne dovremmo conchiudere che la curva rappresentata da y = F (x) risulterebbe bizzarramente intrecciata da capo a fondo di punti multiplici, di contatti, di flessi contrari e simili. Il calcolo avrebbe dunque espresso in suo linguaggio ciò che mostrerebbe all' occhio l'attual costruzione della curva.

In questa stessa ipotesi siccome il rapporto fra l'aumento infinitamente piccolo diye l'aumento infinitamente piccolo di x è senza controversia A, anche il coefficiente differenziale di vy sarebbe una quantità impossibile ad assegnarsi. Di più, siccome le rette che formano coll'asse delle ascisse un angolo la cui tangente sia A, sono le sole che passino tanto vicine ai diversi archi della curva, che nessun' altra retta possa passarvi tra mezzo, quando A fosse una quantità impossibile ad assegnarsi, sarebbe pure impossibile l'inscrivere e circoscrivere alla curva una serie di poligoni continuamente avvicinantisi ad essa, e quindi anche il metodo degli antichi per quadrare gli spazi curvilinei verrebbe meno in questo caso.

Perchè dunque porre a carico della teoria delle funzioni una difficoltà ancora ipotetica e che, quando esistesse, sarebbe comune a tutti i metodi matematici fin qui immaginati?

APPENDICE

PARTE I.

SCIENZE LETTERE ED ARTI STRANIERE.

Continuazione e fine delle Considerazioni sul corso attuale delle scienze e sulle loro relazioni colla società, del sig. cavaliere CUVIER. (Vedi il N. VII. pag. 147 di questo terzo Tomo).

LA

A fisica non ha seguito che da lungi l'esempio della geometria; ma, a misura che vi si è accostata, ha partorito un maggior numero d'applicazioni giornaliere e popolari.

Se Rumford ha diminuito d'una metà la spesa delle arti che impiegano il fuoco; s'egli è pervenuto a nutrire il povero con diciotto danari per pasto, questo è frutto d' uno studio dilicato delle leggi della comunicazione del calore; se le feltrazioni per mezzo del carbone assicurano ora per tutto la salubrità dell' acque, questo è dono dell' avere i chimici olandesi esaminato minutamente le leggi dell' assorbimento delle sostanze gazose; se Parigi non fu decimata l'anno 1814 dalla febbre pestilenziale che la guerra avea tratto ne' suoi spedali, ringraziar ne dobbiamo lo svedese Scheele, il quale aveva

scoperto, trent'anni avanti, un acido che imprigiona i contagi, e tantosto ne distrugge il germe.

Nulla soprattutto eguaglia i prodigi della macchina a vapori. Dopo che la profonda e matematica teoria dell' azione del calore ne ha fatto, tra le mani del sig. Watt, il motore più possente e a un tempo più misurato, non ci ha nulla ond' esso non sia capace; si direbbe che in esso vive la geometria e la meccanica. Esso fila e tesse più egualmente che verun operaio, poichè non patisce nè distrazione, nè fatica: in tre colpi fa delle scarpe; un primo cilindro, guernito d'uno stampo (emporte-pièce), taglia il suolo e il tomaio; un altro vi fa i buchi, ne' quali un terzo ficca gli agutelli preparati, cui subito ribadisce; ed ecco la scarpa bella e fatta. Esso fabbrica fogli di carta che si potrebbero prolungar di più leghe, se fosse necessario. Esso stampa! Di qual meraviglia nou sarebbe compreso il Guttemberg, questo felice inventore de' caratteri mobili, se vedesse uscire a migliaia, in una sola notte, d' infra due cilindri, senza interruzione e per poco senz'aiuto di mano, quelle lunghe pagine di giornali che corrono poscia fin nel centro delle foreste dell' America a portar le lezioni dell'esperienza morale e la luce dell' arti? Una macchina a vapore sopra una vettura, le cui ruote si incastrano in un cammino a ciò preparato, si tira dietro una fila d'altre vetture. Vengono queste caricate e accese, e da sè e in tutta fretta vauno a farsi scaricare all'altro capo della strada. Il viandante, che da lontano le vede attraversar la campagna, appena presta fede